गुणनखंड और गुणज | हिंदी में ( Factor and Multiple) |in Hindi
गुणनखंड और गुणज दो ऐसे पाठ है जिसे एक साथ समझना बहुत जरूरी है। गुणनखंड वह संख्या है जो दिए गए संख्या को पूरा पूरा विभाजित करता है जबकि गुणज किसी दो संख्या का गुणा करके प्राप्त संख्या होती है। इस ब्लॉग में आप बिस्तर से सीखेंगे गुणनखंड और गुणज के बारे में उदाहरण के साथ।
गुणनखंड क्या है? (What are Factors?)
जब एक संख्या किसी दूसरी संख्या को पूरी तरह से विभाजित करती है तो वो संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड कहलाती है।
जैसे 2, 6 का गुणनखंड है क्योंकि 2,6 को पूरा पूरा विभाजित करता है। 3 भी 6 को पूरा पूरा विभाजित करता है अतः 3 भी 6 का गुणनखंड होगा। इस तरह 6 का गुणनखंड 1,2,3 और 6 है।
दूसरे शब्दों में कहें तो किसी संख्या को पूरी तरह विभाजित करने वाली जितनी भी दुसरी संख्या होगी सभी गुणनखंड कहलाएगी।
जैसे 24 का गुणनखंड = 1,2,3,4,6,8,12,24 है।
अगर किसी संख्या के केवल दो गुणनखंड हो तो उसे अभाज्य संख्या (prime number) कहते है। 2 एक अभाज्य संख्या के उदाहरण है क्यों कि इसके केवल दो गुणनखंड 1 और 2 है।
1 सभी संख्या का गुणनखंड होता है।
किसी संख्या का गुणनखंड या तो संख्या से छोटा या संख्या के बराबर होती है।
गुणज क्या है? (What is Multiple?)
गुणज वह संख्या है जो किसी दी गई संख्या को गुणा करने से प्राप्त होती है। या यूं कहे तो किसी संख्या का पहाड़ा (table) गुणज ही है।
2 का गुणज = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,..... और आगे इसी तरह से।
3 का गुणज = 3,6,9,12,15,18,21,24,...... इसी तरह आगे भी।
5 का गुणज = 5,10,15,20,25,30….. और आगे भी
3 × 4 = 12
यहां 3 और 4, 12 के गुणनखंड है जबकि 12, 3 और 4 का गुणज है।
प्रत्येक संख्या 1 का गुणज होती है।
नोट:-
कोई संख्या किसी दूसरे संख्या से विभाजित होगी या नहीं बिना भाग दिए जानना हो तो विभाज्यता के नियम (divisibility rule) पढ़ें।
लघुत्तम समापवर्तक (ल•स•) कैसे ज्ञात करें और ज्ञात करने की विभिन्न विधियां - हिंदी में (Lowest Common Multiple and Different Methods) | L.C.M - in Hindi
दो या दो से अधिक संख्या का सबसे छोटा उभयनिष्ट गुणज दी गई संख्या का लघुत्तम कहलाता है।
लघुत्तम निकालने की विधियां (Method to find Lowest Common Multiple)
1 गुणज विधि (by Multiple Method)
इसे एक उदाहरण से समझते है।
4 और 8 का लघुत्तम क्या होगा?
हल :- 4 का गुणज = 4,8,12,16,20,24,28,32...
8 का गुणज = 8,16,24,32,40,48,56,64..
उभयनिष्ठ गुणज = 8,16,24,32,…. इत्यादि
अतः सबसे छोटा उभयनिष्ट गुणज = 8
इसलिए लघुत्तम = 8
6,9,और 12 का लघुत्तम क्या होगा ?
हल:- 6 का गुणज = 6,12,18,24,30,36,42,48,...
9 का गुणज = 9,18,27,36,45,54,63,72…
12 का गुणज = 12,24,36,48,60,72,84….
उभयनिष्ट गुणज = 36,72,....
इसमें सबसे छोटा उभयनिष्ट गुणज 36 है।
इसलिए 6,9,12 का लघुत्तम = 36
2 अभाज्य गुणनखंड विधि | हिंदी में (by Prime Factorization Method) | in Hindi
इसे एक उदाहरण से समझते है।
45 और 75 का लघुत्तम ज्ञात करें।
हल :- 45 का अभाज्य गुणनखंड = 3×3×5
75 का अभाज्य गुणनखंड = 3×5×5
इसलिए लघुत्तम = 3×3×5×5= 225
व्याख्या :- ऊपर 45 और 75 के अभाज्य गुणनखंड में दो तरह की संख्या आई है। 3 वाला और 5 वाला। 3 की संख्या सबसे ज्यादा 45 के अभाज्य गुणनखंड में है और 5 की संख्या सबसे ज्यादा 75 के अभाज्य गुणनखंड में है इसलिए 45 और 75 का लघुत्तम 3×3×5×5 = 225 होगी।
3 भाग विधि | हिंदी में (by Division Method) in Hindi
इसे एक उदाहरण से समझते है।
6, 8, और 12 का लघुत्तम भाग विधि से ज्ञात करें।
हल:-
व्याख्या :- हम सबसे छोटी संख्या पता करेंगे जिससे 6,8,और 12 में से कम से कम दो संख्या विभाजित हो जाए। जैसे आप image में देख रहे है मैंने 2 से विभाजित किया है। 2 से विभाजित करने के बाद 3,4 और 6 बचा। फिर यह संख्या 2 से विभाजित हो रही है। 2 से विभाजित करने पर 3, 2, और 3 बचा।
अब यह संख्या 3 से विभाजित होगी। 3 से विभाजित करने पर 1,2 और 1 बचा।
अब जो संख्या बाएं ( किनारे ) तरफ है और नीचे बची है उसे गुणा कर देंगे। गुणनफल जो आएगा वहीं लघुतम होगा।
लघुतम = 2×2×3×2= 24
लघुत्तम की विशेषता
दो अभाज्य संख्या का लघुत्तम उन संख्या के गुणनफल के बराबर होते है। जैसे 3 और 5 का लघुत्तम = 3×5= 15 होगा।
यदि एक संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड हो तो बड़ी संख्या उसका ल•स• होगा।
दो या दो से अधिक संख्या का ल•स• दी गई संख्या से कभी भी छोटा नहीं होगा।
किसी संख्या का सबसे छोटा गुणज खुद संख्या होती है।
महत्तम समापवर्तक (म•स•) कैसे ज्ञात करें और ज्ञात करने की विभिन्न विधियां | हिंदी में (Highest Common Factor and Different Methods) | H.C.F in Hindi
महत्तम का मतलब सबसे बड़ी अर्थात दो या दो से अधिक संख्या के उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) में उपस्थित सबसे बड़ी संख्या को महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor) कहते है।
विभिन्न विधियां | हिंदी में, (Different Methods) | in Hindi
1 गुणनखंड विधि (by Factor Method)
इसे एक उदाहरण से समझते है।
15 और 45 का महत्तम गुणनखंड विधि से ज्ञात करे।
हल:- 15 का गुणनखंड = 1,3,5,और 15
45 का गुणनखंड = 1,3,5,9,15,45
उभयनिष्ठ गुणनखंड = 1,3,5 और 15 है।
तो महत्तम समापवर्तक (H.C.F) = 15
व्याख्या :- 15 को विभाजित करने वाली जितनी भी संख्या है वो सभी 15 का गुणनखंड (factor) कहलाएगी। इसी तरह 45 को विभाजित करने वाली जितनी भी संख्या है वो सभी 45 का गुणनखंड कहलाएगी। अतः 15 और 45 के गुणनखंड में जो संख्या दोनो में उपलब्ध है वह उभयनिष्ठ गुणनखंड होगी। और उसमे से जो सबसे बड़ी संख्या होगी वही महत्तम समापवर्तक (H.C.F) कहलाएगी।
2 अभाज्य गुणनखंड विधि (by Prime Factorization Method)
इसे एक उदाहरण से समझते है।
72 और 108 का महत्तम अभाज्य गुणनखंड विधि से ज्ञात करें।
हल:-
उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखंड = 2,2,3,और 3
महत्तम (H.C.F) = 2×2×3×3 = 36
व्याख्या :- ऊपर के चित्र के अनुसार किसी भी संख्या का अभाज्य गुणनखंड निकलेंगे।
फिर जो - जो संख्या दोनो में उपस्थित होगी वह उभयनिष्ट अभाज्य गुणनखंड (Common Prime Factor) कहलाएगी। फिर उन संख्याओं को गुणा करने से महत्तम समापवर्तक (H.C.F) प्राप्त होगा।
3 भाग विधि (by Division Method)
इसे एक उदाहरण से समझते है।
68 और 102 का महत्तम भाग विधि से ज्ञात करे।
हल:-
एक और उदाहरण से समझते है।
68, 102 और 153 का महत्तम भाग विधि से ज्ञात करें।
हल:-
अंतिम में जिस संख्या से भाग देने पर शेष शून्य होगा वही संख्या H.C.F होगी।
यदि एक संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड हो तो छोटी संख्या उसका म•स• होगा।
दो अभाज्य संख्या का महत्तम हमेशा 1 होगा।
दो या दो से अधिक संख्या का म•स• दी गई संख्या से कभी भी बड़ा नहीं होगा।
कुछ महत्वपूर्ण तथ्य | Some Important Factors
नीचे चित्र में कुछ सूत्र (Formula) दिए जा रहे है।
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